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今日11月17日を4ケタの数で表すと、1117は素数です。西暦を含めた20191117も 素数です。

今回は、数学者の谷克彦さんが数学博物館へ寄贈してくださった著書「美しい幾何学」（2019 技術評論社）の中から、正多面体についての内容をご紹介します。
中学1年生で、正多面体は5種類しかないことを学習します。授業では、頂点に着目して図形的に確認しています。詳しくは、ブログ#44『正多面体は5種類しかない！』、#45『正多面体は5種類しかない！2』を見てくださいね。
正多面体が5種類しかないことは、実は「オイラーの多面体公式」を利用して計算で説明できます。式に文字を使い、テクニックを使って式を変形していきます。2回に分けて説明していきます。

（1）まず、「オイラーの多面体公式」を紹介します。ある条件をクリアした立体（多面体）は、
（面の数）＋（頂点の数）－（辺の数）＝ 2　・・・①
となることがわかっています。例えば、直方体であれば、「6＋8－12 ＝ 2」となっています。

（2）次に、正多面体の性質を考えていきます。正多面体はそれぞれの面の多角形が合同で、頂点に集まる面の数が等しいという特徴があります。面の形をp角形（pは3以上の整数、2角形はできないから）、頂点に集まる面の数をq（qは3以上の整数、2枚で頂点は作れないから）とすると、
（ⅰ）p×（面の数）＝（辺の数）×2
したがって、
（面の数）＝（辺の数）×2/p　・・・②
（ⅱ）q×（頂点の数）＝（辺の数）×2
したがって、
（頂点の数）＝（辺の数）×2/q　・・・③

今回は、面の数、頂点の数、辺の数について３つの式を知りました。次回は、３つの式を使って、正多面体が５つしかない理由を発見しましょう！ 皆さんも考えてみてください。
（数学科 園田毅）

“Only 5 kinds of Regular polyhedron! 3”
Mathematician Tani Katsuhiko san donated his book to our museum and I will introduce the content about regular polyhedrons in his book.
The 7th grade students learn that there are only 5 kinds of regular polyhedron. I explain the reason of the theory graphically thinking about the number of vertex. Please refer to our blog #44“Only 5 kinds of Regular polyhedron! ” and #45 “Only 5 kinds of Regular polyhedron! 2” for details. I will find this theory by calculation using “’Euler’s polyhedron formula”. We make expressions to complete the formula using characters and techniques, so it may be little difficult for junior high school students.

(1) First, this is the “Euler’s polyhedron formula” below. Solids that have some contents always have characters.
(the number of faces)＋(the number of vertices)－(the number of sides)＝2　・・・①
For example, in the case of the rectangle parallelepiped,
“6+8-12=2” is established.

(2)Next, let’s think about characteristics of regular polyhedron. Regular polyhedron have 2 features, one is that all are regular polygons, the other is that the number of faces gathering at a point are same. When the shape of regular polygons is “p” (p is an integer greater than or equal to 3) and the number of faces is “q” (q is an also integer greater than or equal to 3),
(ⅰ) p×(the number of faces)=(the number of sides) ×2
Then
(the number of faces)=(the number of sides) ×2/p ・・・ ②
(ⅱ) q×(the number of vertices)= (the number of sides)×2
Then
(the number of vertices)= (the number of sides) ×2/p ・・・ ③

We can have 3 relational expressions now.
Let’s get a solution by the next blog and try thinking!
by Tsuyoshi Sonoda (Math Dept.)

今日10月9日を4ケタの数で表すと、1009は素数です。西暦を含めた20191009も素数です。

本校数学科では、6つの数学教室と数学ST(教員室)、2つの数学メディアスペースに数学者や科学者の名前をつけています。「数学メディアスペース2」（3階）の名前は「ジョン・スノウ」です。
ジョン・スノウは19世紀のイギリスの医者で、ビクトリア女王にクロロホルムで麻酔をかけた人、そしてまた、調査データを元にロンドン、ソーホー地区でのコレラの流行を止めた人として知られています。彼は同じ時代に活躍したフローレンス・ナイチンゲールと同じく統計学を使って、医学の発展に貢献しました。
当時は、コレラなどの伝染病は汚い空気「瘴気（しょうき）」が発生、感染の元であるとされ、スノウの主張する経口感染説はなかなか受け入れられませんでした。しかし、1854年夏のコレラの流行では、精密な調査の結果、死者はブロードストリートにある井戸の周りの住民と、井戸から離れていても偶然その井戸の水を飲んだ人に限られることがわかりました。スノウはこのデータを元に、井戸の使用を禁止し、コレラの流行を止めることに成功しました。ドイツ人医師ロベルト・コッホ（1843－1910）によって、コレラ菌が発見されるのは1876年のことでした。

 

“The name of the Math Open Space 2 is ‘John Snow’.”
We gave the names of famous mathematicians or scientists to the 6 classrooms, the teacher’s “station” (staff room) and 2 open spaces. The name of “Math Open Space 2” on the third floor is “John Snow”.
John Snow was an English physician who anesthetized Queen Victoria with chloroform and stopped the prevalence of cholera in the Soho area of London using his survey data. He contributed to the advance of medical science in the same period and in the same way Florence Nightingale did, using statistics.
People believed that the origin of infectious diseases like cholera was dirty air, so the oral infection theory Snow asserted was not accepted. But it was found, as a result of the inspection into the prevalence of cholera in the summer of 1854, that many of the dead people lived around the pump on Broad Street or were people who died after drinking the pump water accidentally. Snow prohibited use of the pump using the data and succeeded in stopping a cholera epidemic. It was in 1876 that German physician Robert Koch (1843-1910) identified the cholera vibrio.
by Tsuyoshi Sonoda (Math Dept.)

今日9月19日を3ケタの数で表すと、919は素数です。西暦を含めた20190919は、7、67と43051、3つの素数の積で表せるので、素数ではありません。

今回は、ppバンドで手にのる大きさのサッカーボール（「角切り二十面体」 写真1）を作ってみましょう。もちろんボールとして遊べます。以下に作り方を紹介しますね。ppバンドはホームセンターや通販サイトで購入できます。

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（1）ppバンド（幅15mm）を、27.5cm（この内、1.5cmはホッチキスを留める重複部分）に切り、これを6本用意してください。
（2）まず、5本のppバンドを、中心に五角形ができるように組み合わせます。ｐｐバンドが交差する部分はそれぞれが互いに内側・外側になるように組み合わせてください。
（3）五角形の頂点をクリップで留めてください。
（写真2）地球に例えると、「南半球」を作っているイメージです。五角形は「南極」にあたります。
（4）残りの1本（白）を他のｐｐバンドにかけていき、1周したらホッチキスで留めてください。
（写真3）白いバンドは「赤道」のイメージです。
（5）「赤道」の上に出てきたｐｐバンドを互いに外側・内側になるようにかけていき、1周したら順にホッチキスで留めてください。
（６）全てのｐｐバンドをホッチキスで留めたら完成です。ホッチキスで留めた部分を他のｐｐバンドの内側に隠すと見栄えがきれいです。

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初めて作るときは、40－50分ほどかかります。お家でぜひやってみてくださいね。
（数学科 園田毅）

“Let’s make a soccer ball using PP bands!”
Let’s make a soccer ball (“Truncated icosahedron” figure 1) using PP bands!
Of course we can play using it as a ball. I will introduce the way of making it. We can get PP bands at a do-it-yourself store.

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(1) Cut 6 pieces of PP bands (width 15mm) each 27.5cm. (1.5cm of the 27.5cm is to overlap each other for stapling.)
(2) Combine 5 pieces of PP bands which make a pentagon. Combine Parts where 3 PP bands intersect each other alternately.
(3) Keep the vertex of a pentagon by clips. (figure 2) If this soccer ball was the earth, it is like making the southern hemisphere. The part of pentagon is the “South Pole”.
(4) Put the remaining PP bands (white) in and outside the other PP bands alternately and staple it. (figure 3) This is like making an “equator”.
(5) Put 5 PP bands alternately above “equator”. After each PP band has circled the ball, staple it.
(6) It is completed when all PP bands are stapled.

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If you put the stapled parts inside the other bands, the ball looks beautiful.
by Tsuyoshi Sonoda (Math Dept.)

今日9月7日を3ケタの数で表すと、907は素数です。西暦を含めた20190907は11×11×166867と素因数分解できるので、素数ではありません。

前回、工作用紙で自作したサッカーボール（「角切り（かくぎり）二十面体」という「半正多面体」の1つ）をご紹介しましたが、小包の包装などに使われているppバンドからも作ることができます。
写真1を見てください。球体の表面に空いているすき間は正五角形です。そして、ppバンドを見ると、正五角形の各辺（青い線）とその頂点どうしを結ぶ線（緑の線）が正六角形を作っているのがおわかりになるでしょう。
ppバンドで作ったこの立体の不思議なところは、もう1種類の半正多面体に見えるところです。
写真2を見てください。ｐｐバンドの真ん中にマジックで線を引いていきます。こうすると、この立体は正五角形と正三角形でできた半正多面体に見えることがわかりますね。これは「二十・十二面体」と呼んでいる半正多面体です。
角切り二十面体（写真1）と二十・十二面体（写真2）、この2つの半正多面体は少し違いがあります。角切り二十面体の辺は、正五角形と正六角形にはさまれた辺（青い線）と2つの正六角形にはさまれた辺（緑の辺）、2通りの場合があります。一方、二十・十二面体は、すべての辺が正五角形と正三角形にはさまれています。それで、二十・十二面体は、半正多面体の中でも特別に「準正多面体」と呼ばれて区別されています。
（数学科 園田毅）

“Let’s make a soccer ball using PP bands 1”
I introduced a solid of a soccer ball made by working paper and it is called a “Truncated icosahedron” which is one type of ”semi – regular polyhedron” in the last blog. Today, I will show that we can also make the solid using PP bands. Please look at figure 1. The shape of holes on the surface of the sphere is a regular pentagon. If you check the PP bands, you will know that each side (blue lines) of regular pentagons and each other side (green lines) connecting their vertex make a regular hexagon.
A strange and interested thing about this solid using PP bands is that we can look it as other type of ”semi – regular polyhedron”.
Please look at figure 2. We write lines on the central part of the PP bands. Then you get that this solid is also a ”semi – regular polyhedron” made of regular pentagon and regular triangles. We call it a “Icosidodecahedron”.
There is a little defference between truncated icosahedron (figure 1) and icosidodecahedron (figure 2).
A truncated icosahedron has 2 types of the sides. One type (blue lines) are sandwiched between a regular pentagon and regular hexagon and another type (green lines) are sandwiched 2 regular hexagon. On the other hand, all sides (yellow lines) of icosidodecahedron are sandwiched between a regular pentagon and regular triangle. Then icosidodecahedron are distinguished from other semi – regular polyhedron and called “quasi – regular polyhedron”.
by Tsuyoshi Sonoda (Math Dept.)

今日5月9日を3ケタの数で表すと、509は素数です。西暦を含めた20190509は、17×53×22409と素因数分解できるので、素数ではありません。

今、サッカーボールのデザインはさまざまなものがありますが、その中でも昔からある正五角形と正六角形でできた白黒のデザインは誰でも思い浮かぶのではないでしょうか。下の3つのサッカーボールのうち、右の2つは正五角形と正六角形でできていますね。

数学の世界では、2種類の正多角形からできている立体を「半正多面体」と言い、サッカーボールには、「切頂（せっちょう）二十面体」や「角切り（かくぎり）二十面体」という名前がついています。この名前はこの立体の作り方から来ています。写真1の白い立体は正二十面体です。正二十面体には12個の頂点があります。この頂点を写真2のように切り取っていくと、あっという間にサッカーボールが現れました。

このお話を読んだ皆さんは、もし「サッカーボールの正五角形と正六角形は何枚ずつあるの？」と聞かれることがあれば、正解を答えられますよね。
そうです。正二十面体の12個の頂点を切り取ってできた正五角形は12枚、正二十面体の元の面からできている正六角形はもちろん20枚ですね！
（数学科 園田毅）

“A soccer ball is a famous solid!”
There are many designs with soccer balls now. Among them, many people know the design with black pentagons and white hexagons.
In the mathematics world, we call them “semi – regular polyhedron”, that include multiple regular polygons like a soccer ball. A soccer ball is a solid ‘Truncated icosahedron’ in English, ‘Settyo nijumentai’ or ‘Kakugiri nijumentai’ in Japanese. The name of this solid, both in Japanese and English, means a way of making this solid. The white solid in figure 1 is a regular icosahedron. A regular icosahedron has 12 vertex. We cut those vertex as in figure 2, so we can get a soccer ball instantly.
Those who have read this blog can answer the question ‘How many numbers of regular pentagons and regular hexagons are in a truncated icosahedron?’
Yes, numbers of regular pentagons are 12 pieces in a truncated icosahedron because a regular icosahedron has 12 vertex. And numbers of regular hexagons are 20 pieces because those are the same as the numbers of original faces of regular icosahedron.
by Tsuyoshi Sonoda (Math Dept.)