測って、つくって、数式にする

　7/16の学びプロジェクトでは「測って、つくって、数式にする 未知の形を探る数学」を開催しました。講師は東京科学大学の永原健大郎氏と、スウェーデンKTH王立工科大学「科学の家」のアンダーシュ・ブロムクヴィスト氏、大阪工業大学の 辰巳育男氏の3名でした。
　会議室の机には、白い物体が置かれています。地面から頭を出しているのは上半分だけで、埋まっている部分は見えません。生徒たちは発掘調査員になって、この物体の全体がどんな形なのかを、測って調べます。　見た瞬間、私は「半球だ」と直感しました。おそらく生徒たちも同じだったと思います。でも、この活動が問うのはそこからです。

「それは何ですか。本当に半球だと言えますか。」

　直感を証明に変えるには、もてる知識と経験を総動員して、確かめに入るしかありません。ある班は円周をメジャーで測り、円周率で割って直径を求めました。別の班は、アルミフレームとL字金具を組んで高さを測る道具を自作しました。見えている部分の高さが直径のちょうど半分なら、球だと言えるはずだ、という理屈です。やってみると、これがなかなか進みません。金具は空中でぐらつき、半径・直径・円周を比較しようにも、そもそも

「いま測っているものは本当に半径なのか」

「フレームは机と垂直なのか」

を示さなければ、測った数値に意味がなくなる。証明のために、別の証明が必要になるのです。ワークシートには「垂直ということをいちいち証明して測らないといけなかった」と書いた生徒がいました。頭でわかっていることと、実物を前に測量することは違iいます。発表では、どの班も計算値と実測値を突き合わせ、誤差がわずかであるとして「だから球だと考えた」と結論づけていました。永原さんは、答えに近づく道は一通りではなく、いろいろな方法で正解に迫れるのが数学の面白さだと話してくださいました。
　活動の終わりには、アンダーシュさんがスウェーデンの話をしてくださいました。仲間とコーヒーを飲みながら対話する「フィーカ」という文化のことや、生命科学の研究者から子どもたちに科学を教える仕事に移った自身の歩みのことを紹介してくださいました。辰巳さんからは、３Dプリンターで出力したサンプルをたくさん持ってきていただき、特に変形するカタチの作品は驚きました。（沼田　和也）

気づきnote：

・「自分なりの仮定をしてそれを証明するには何が必要でどのようにしたらそれが分かるのかを考えるのことが今日最も価値のあったことかなと思いました。」(2年西川)
・「数学は正直苦手であまり好きではないと思っていましたが、新しい道具や体験が得られたと同時に自分なりに仮説を立てて証明するということを通して多角的な視点からものを見ることが出来たと思いました。」(3年加藤)
・「ぼくは、今回の学プロを通じて数学の「なぜそのやり方でできるのか考える」ということがより学びを深めたり、何か難しいことに挑戦するときは友達と助け合ったり友達との関わりが大事だと思いました。」(1年原)
・「班で球体を証明することが難しかったけどみんなでアイデアを出しあって証明することができて達成感がありました。また、とても楽しかったのでこのようなまなプロには積極的に参加したいです。」(1年立松)
・「数や図形について色々な視点から見ることが中々なかったので、とても良かったです。また、知識にもなったし、正確にすればするほど、複雑になっていくことや、協力することで、色々な課題や問題を解決することができると言うことも学びました。」(1年有田)
・「　今回の学びプロジェクトは、論理的に考えたり手を沢山動かして考えたり行動したりすることが多かったです。自分はこの学びプロジェクトを受けるまで、数学や論理的に考えたりすることがあまり好きではなかったけれど、このプロジェクトを通して色々な説明の仕方があるのだと思いました。初めは、あまり自分の考え方を共有できなかったけれど、班のメンバーの1人が「〇〇するといいんじゃない？」の発言でみんなが自分の考えを話せるきっかけになりました。自分の考えの中にはなかったことや、これでは説明ができないんじゃないのか？と思うこともあったけれど最終的には、みんなの意見をまとめた考え方で発表できてよかったです。
　今回の学びプロジェクトで気づいたことがあります。それは、数学は自分1人だけでやるものではないということです。理由は、自分の考えだけでは、辿り着けなかったことも誰かと考えを共有したり、組み合わせたりすることでよりわかりやすく伝わりやすい、いい物になると思ったからです。」(1年岩佐)
・「数学を使ってこれは本当に球体かなどを調べるということが身につきました。数学は〇〇が〇〇であるという感じを証明するものだと改めて知りました。」(1年小林)
・「球を測るのは難しかったけど、工夫次第でどうにかなると知った。以外と数学は楽しかったので、授業も楽しんで受けたいと思った。」(1年川端)
・「これまでは、他人と協力して何かをする（特に数学とか考える系のやつ）ことは、あまり重要ではなくて、自分で考えて答えを出すことのほうが力がつくと思っていました。でも、今回の学プロを通して、みんなで協力して考えることで、「これいいんちゃう?」「そんな手もあったんや」というように、自分にはなかったアイデアが生まれてきて面白いことがわかったし、みんなで協力したから自分たちなりの答えがきっぱり出たんだと思いました。今回の活動で頑張ったことは、いつもは消極的な「知らない人とコミュニケーションをとること」です。今回はチームでディスカッションしないとできない活動だったので頑張ったけど、いつも「した方がいいな」とは思っているので「しないといけない」ときにやるんじゃなくて、「した方がいいな」と思ったときにやるようにしたいです。」(1年岩佐)
・「最初の方にグニュッと押すと隙間がなくなって形が変わる図形や、回転しながらレーザーが出るものを見て面白いと思ったし、そのようなものを作ったりすることに興味を持ちました。当たり前と思ってきた三角に配置されたレーザーを回しながら発射すると円になることや斜めに傾けると線や放物線が出てくるということに対してなぜそうなるのかという疑問を持ちました。このプロジェクトでは、一部しか見えないとある物体の全体の形を、見えている一部から予測するということをしました。班ごとに道具を使ってそのものの高さなどいろいろなことを調べてその班の予想と共に発表しました。飛び出ている部分しか見えない物体の形を予想して、その証明をすることはとても大変でした。さらに、証明のための証明も必要になってきてさらに大変でした。でも、証明を証明することでより納得できるようになるから、このことは何かを調べる上で大切だ、ということをここから学びました。私の班は物体を球で、見えているところは半球だと予想しました。調べる作業で特に大変だったことは、高さを調べることでした。アルミフレームとL字金具を使って調べるための道具を作りました。アルミフレームとL字金具で垂直を作ることと、垂直であることを示すことが大変でした。理由は、空中でL字金具を止めようとするとぐらつき、また止めても歪んでいることに気づいて修正することに時間がかかり、うまく金具を止めることが難しかったからと、机とアルミフレームは本当に垂直かなど証明しないといけなかったからです。液体が入った容器の泡を使って角度を測る器具があって、そんな道具があるのか、と驚きました。高さを調べる作業から、その物体の半径が分かり（球だとして）ました。そこから直径を求めました。直径から円周の長さを求めると、実際にメジャーで円周を測った長さとほぼ一致していました（誤差が多少あったからほぼ一致になった）。物体を方眼紙の上に乗せて周りをなぞり（地面に埋まっている設定だからルール違反だけど）、そこから線を引いて円の中心を探しました。物体の周りを一周させた針金と重ねるとぴったりでした。順序だって自分で考えて、それを実践して調べることはとても楽しいと感じ、もしかしたら自分の思ったことが大きく場を変えることがあるかも、と気づきました。自分で調べ方のアイディアを出すことや、誰かと協力することは楽しく、これから役に立ちそうだと考えました。調べているときにうまくできるととても嬉しかったです。また、見えないものを考えて計算する数学は面白いと思いました。今日の作業などから考えることと工夫で可能性は大きく広がると考えました。スウェーデンから来てくれた先生のお話がプロジェクトの最後の方にあって、スウェーデンや科学や技術の勉強に関することを学べました。タックというありがとうという意味のスェーデン語を覚えることができました。スウェーデンは人々のちょっとせっかちな性格などが日本と少し似ているな、と感じました。そのスウェーデンから来てくれた先生とイベントの後でお話しできて良かったです。やりたいことをすることが大切だと言ってくれました。」(1年吉田)
・「僕はこれまで数学は数式を使って解いていましたが、今回のプロジェクトを通して長さや角度を測って解くこともできるのが数学だなと考えました。未知の答えを出す時は、長さや角度を測って解いてみたいです。」(1年是竹)
・「いつもなんとなくこの形は〇〇だと思っているけど、ちゃんとそれがあっているのかを証明しないといけないということがわかった。証明するのには、たくさんの過程が必要となり、大変だった。」(1年中嶋)
・「自分で上に出ているものから下半分にどのような形のものが埋まっているのか予想するのは、自分で考えるいい練習になった。」(1年中村)

Mäta, bygga, uttrycka med formler – matematik för att utforska okända former
Den 16 juli höll vi ett “Manabi Project” (lärandeprojekt) på Doshisha Junior High School. Gästlärare var Kentaro Nagahara från Institute of Science Tokyo, Anders Blomqvist från Vetenskapens Hus vid KTH i Stockholm, och Ikuo Tatsumi från Osaka Institute of Technology.
På bordet i konferensrummet låg ett vitt föremål. Bara den övre halvan syntes – resten var “begravd i marken”. Eleverna blev utgrävare som skulle ta reda på föremålets hela form genom att mäta.
Vid första anblicken tänkte jag: “Det är en halvsfär.” Eleverna tänkte nog likadant. Men det var där aktiviteten började på riktigt: Vad är det? Kan du verkligen bevisa att det är en halvsfär?
En grupp mätte omkretsen med måttband och räknade ut diametern. En annan grupp byggde ett eget mätverktyg av aluminiumprofiler och vinkelbeslag för att mäta höjden. Men arbetet gick långsamt. För att mätvärdena skulle betyda något var grupperna tvungna att visa att verktyget verkligen stod vinkelrätt mot bordet – ett bevis krävde ett annat bevis. En elev skrev: “Vi var tvungna att bevisa vinkelrätheten varje gång vi mätte.” Att veta något i huvudet och att mäta ett verkligt föremål är två olika saker.
Vid redovisningen jämförde alla grupper sina beräknade värden med de uppmätta, och drog slutsatsen att föremålet var en sfär eftersom skillnaden var liten. Nagahara berättade att det inte bara finns en väg till svaret – det är matematikens tjusning att man kan närma sig sanningen på många olika sätt.
I slutet berättade Anders om Sverige: om fika-kulturen, där man tar en paus från arbetet för att prata över en kopp kaffe, och om sin egen väg från forskare inom livsvetenskap till att undervisa barn i naturvetenskap. Han uppmuntrade eleverna att värna om det de verkligen vill göra. Tatsumi tog med sig många 3D-utskrivna modeller – särskilt de formföränderliga väckte förvåning. Kazuya Numata (lärare, Doshisha Junior High School)
Några röster från eleverna:
“Jag trodde alltid att det var bättre att tänka själv och komma fram till svaret på egen hand. Men genom att samarbeta föddes idéer jag aldrig hade kommit på själv.” (årskurs 1)
“Man tror att man vet vilken form något har, men man måste faktiskt bevisa att det stämmer. Det krävdes många steg, och det var svårt.” (årskurs 1)